$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=?$

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

    `\(\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ca}{(b-c)(b-a)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)}\)`

    আমরা হরের পদগুলোকে একটি সুনির্দিষ্ট চক্রাকার ক্রমে (যেমন, `\((a-b)(b-c)(c-a)\)`) সাজাবো। এর জন্য নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলো ব্যবহার করব:     

        
• `\((a-c) = -(c-a)\)`
        
• `\((b-a) = -(a-b)\)`
        
• `\((c-b) = -(b-c)\)`
    

প্রথম পদ:

    `\(\frac{bc}{(a-b)(a-c)} = \frac{bc}{(a-b)[-(c-a)]} = \frac{-bc}{(a-b)(c-a)}\)`

দ্বিতীয় পদ:

    `\(\frac{ca}{(b-c)(b-a)} = \frac{ca}{(b-c)[-(a-b)]} = \frac{-ca}{(a-b)(b-c)}\)`

তৃতীয় পদ:

    `\(\frac{ab}{(c-a)(c-b)} = \frac{ab}{(c-a)[-(b-c)]} = \frac{-ab}{(c-a)(b-c)}\)`

এখন, রাশিমালাটি হবে:

    `\(\frac{-bc}{(a-b)(c-a)} + \frac{-ca}{(a-b)(b-c)} + \frac{-ab}{(c-a)(b-c)}\)`

সাধারণ হর `\((a-b)(b-c)(c-a)\)` বের করি। প্রতিটি ভগ্নাংশকে এই সাধারণ হর দিয়ে প্রকাশ করার জন্য তাদের লব ও হরকে প্রয়োজনীয় পদ দ্বারা গুণ করি:

প্রথম পদের জন্য, লব ও হরকে `\((b-c)\)` দ্বারা গুণ করে:

    `\(\frac{-bc(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{-b^2c + bc^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)`

দ্বিতীয় পদের জন্য, লব ও হরকে `\((c-a)\)` দ্বারা গুণ করে:

    `\(\frac{-ca(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{-c^2a + ca^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)`

তৃতীয় পদের জন্য, লব ও হরকে `\((a-b)\)` দ্বারা গুণ করে:

    `\(\frac{-ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{-a^2b + ab^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)`

এখন, আমরা লবগুলোকে যোগ করব:

লব = `\((-b^2c + bc^2) + (-c^2a + ca^2) + (-a^2b + ab^2)\)`

লব = `\(-b^2c + bc^2 - c^2a + ca^2 - a^2b + ab^2\)`

এই লবটি `\((a-b)(b-c)(c-a)\)` এর বিস্তৃতির সমান। চলূন পরীক্ষা করি:

    `\((a-b)(b-c)(c-a) = (ab - ac - b^2 + bc)(c-a)\)`
    `\(= abc - a^2b - ac^2 + a^2c - b^2c + ab^2 + bc^2 - abc\)`
    `\(= -a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 - ac^2 + a^2c\)` (পদগুলো সাজিয়ে)

এটি হুবহু আমাদের প্রাপ্ত লবের সমান। সুতরাং,

লব = `\((a-b)(b-c)(c-a)\)`

সুতরাং, সম্পূর্ণ রাশিটি হবে:

    `\(\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)`

যেহেতু লব ও হর একই এবং `\(a \neq b, b \neq c, c \neq a\)` (কারণ হর শূন্য হতে পারে না), রাশিটির মান হবে 1।